Question

【題目】問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N．判斷線段DN、MB、EC之間的數量關系，并說明理由．

問題探究：在“問題情境”的基礎上，

（1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q，連接EQ，并延長交邊AD于點F．求∠AEF的度數；

（2）如圖3，當垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點P落在點P'處．若正方形ABCD的邊長為4 ，AD的中點為S，求P'S的最小值．

問題拓展：如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點M、N分別為邊AB、CD上的點，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對應邊B'C'恰好經過點A，C'N交AD于點F．分別過點A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分別為G、H．若AG＝，請直接寫出FH的長．

Answer 1

【答案】問題情境：.理由見解析；問題探究：（1）；（2）的最小值為；問題拓展：.

【解析】

問題情境：過點B作BF∥MN分別交AE、CD于點G、F，證出四邊形MBFN為平行四邊形，得出NF＝MB，證明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出結論；

問題探究：（1）連接AQ，過點Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點H、I，證出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，證明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出結論；

（2）連接AC交BD于點O，則△APN的直角頂點P在OB上運動，設點P與點B重合時，則點P′與點D重合；設點P與點O重合時，則點P′的落點為O′，由等腰直角三角形的性質得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，當點P在線段BO上運動時，過點P作PG⊥CD于點G，過點P′作P′H⊥CD交CD延長線于點H，連接PC，證明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，證明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性質得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，點P'在線段DO'上運動；過點S作SK⊥DO'，垂足為K，即可得出結果；

問題拓展：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，則EG＝AG＝，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE＝＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，證明△ABE∽△QCE，得出QE＝AE＝，AQ＝AE+QE＝，證明△AGM∽△ABE，得出AM＝，由折疊的性質得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝，AC'＝1，證明△AFC'∽△MAB'，得出AF＝，證明△DFP∽△DAQ，得出FP＝，得出FH＝FP＝．

問題情境：因為四邊形是正方形，

所以.

過點作分別交于點.

所以四邊形為平行四邊形.

所以.所以，

所以，

又因為，

所以.，所以.

因為，所以，所以.

問題探究：

（1）連接，過點作，分別交于點.易得四邊形矩形.

所以且.

因為是正方形的對角線，所以.

所以是等腰直角三角形，.所以.

因為是的垂直平分線，所以.

所以.所以.

所以.所以.

所以是等腰直角三角形，，即.

（2）如圖所示，連接交于點，由題意易得的直角頂點在上運動.

設點與點重合，則點與點重合；

設與點重合，則點的落點為.易知.

當點在線段上運動時，

過點作的垂線，垂足為，

過點作，垂足為點.

易證：，

所以，

因為是正方形的對角線，

所以，易得，所以.

所以.

所以，故.

所以點在線段上運動.

過點作，垂足為，因為點為的中點，

所以，則的最小值為.

問題拓展：

解：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，如圖4：

則EG＝AG＝，PH＝FH，

∴AE＝5，

在Rt△ABE中，BE＝＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝1，

∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，

∴△ABE∽△QCE，

∴

∵AG⊥MN，

∴∠AGM＝90°＝∠B，

∵∠MAG＝∠EAB，

∴△AGM∽△ABE，

∴，即，

解得：，

由折疊的性質得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，

∴B'M＝，

∵∠BAD＝90°，

∴∠B'AM＝∠C'FA，

∴△AFC'∽△MAB'，

∴，

解得：

∵AG⊥MN，FH⊥MN，

∴AG∥FH，

∴AQ∥FP，

∴△DFP∽△DAQ，

∴，即，

解得：FP＝，

∴FH＝．