Question

【題目】 若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據以上信息回答：

（1）矩形 奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；

（2）如圖2，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形，若⊙O的半徑為6，∠ BCD=60°．求奇妙四邊形ABCD的面積；

（3）如圖3，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）不是；

（2）54；

（3）.

【解析】

（1）根據矩形的性質和“奇妙四邊形”的定義進行判斷；
（2）連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，根據垂徑定理，得到BH=DH，根據圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，則利用等腰三角形的性質得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可計算出，，則，然后根據奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解；

（3）連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，根據垂徑定理得到AE=DE，再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有．

解：（1）矩形的對角線相等但不垂直，
所以矩形不是奇妙四邊形；
故答案為：不是；
（2）

連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，則BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴在等腰△OBD中，∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，

∴，

∴

∴

∵四邊形ABCD是奇妙四邊形，

∴，

∴；

（3）．

理由如下：

連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，
∵OE⊥AD，

∴在等腰△AOD中，，
又∵，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠/span>AOE，
在△BOM和△OAE中

∴，
∴OM=AE，
∴．