Question

【題目】如圖1是立方體和長方體模型，立方體棱長和長方體底面各邊長都為1，長方體側棱長為2，現用60張長為6寬為4的長方形卡紙，剪出這兩種模型的表面展開圖，有兩種方法：
方法一：如圖2，每張卡紙剪出3個立方體表面展開圖；
方法二：如圖3，每張卡紙剪出2個長方體表面展開圖（圖中只畫出1個）．

設用x張卡紙做立方體，其余卡紙做長方體，共做兩種模型y個．
（1）在圖3中畫出第二個長方體表面展開圖，用陰影表示；
（2）寫出y關于x的函數解析式；
（3）設每只模型（包括立方體和長方體）平均獲利為w（元），w滿足函數 ，若想將模型作為教具賣出，且制作的長方體的個數不超過立方體的個數，則應該制作立方體和長方體各多少個，使獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：展開圖如圖所示：

（2）解：y=3x+2（60-x）=x+120
（3）解：設總利潤為Q（元），

Q=（1．6- ）（x+120）=-0．01x2+0．4x+192 =-0．01（x-20）2+196，∵制作的長方體的個數不超過立方體的個數， ∴2（60-x）≤3x，x≥24， ∴24≤x≤60， ∴x=24時，Q最大=195．84（元），60-24=36（個）

答：制作立方體24個，長方體36個時，利潤最大為195．84元

【解析】(1）將圖3中的長方體展開圖旋轉180畫出圖形即可；
（2）利用用x張卡紙做立方體，其余卡紙做長方體，共做兩種模型y個，卡紙60張，每張長方形卡紙長為6，寬為4，由圖知，一張卡紙可以做3個立方體，一張卡紙只能做2個長方體，然后根據所做的立方體的個數加所做的長方體的個數=總個數得出y與x的函數關系式；
（3）設總利潤為Q（元），利用每只模型（包括立方體和長方體）平均獲利為w（元），w滿足函數w=1.6- ， 進而利用數量乘以每個的利潤=總利潤得出Q與x的函數關系式，并化為頂點式，然后根據制作的長方體的個數不超過立方體的個數，得出自變量x的取值范圍，進而得出答案．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用幾何體的展開圖的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形，若干個平面圖形也可以圍成一個多面體；同一個多面體沿不同的棱剪開，得到的平面展開圖是不一樣的，就是說：同一個立體圖形可以有多種不同的展開圖．