Question

【題目】已知：點P為線段AB上的動點（與A、B兩點不重合），在同一平面內，把線段AP、BP分別折成等邊△CDP和△EFP，且D、P、F三點共線，如圖所示．
（1）若DF=2，求AB的長；
（2）若AB=18時，等邊△CDP和△EFP的面積之和是否有最大值，如果有最大值，求最大值及此時P點位置，若沒有最大值，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△CDP和△EFP是等邊三角形，

∴CD=PC=PD，EF=EP=PF，AP=3PD，BP=3PF，

∵DF=PD+PF=2，

∴AB=AP+BP=3DF=3×2=6

（2）解：沒有最大值，理由如下：

設CD=PC=PD=x，則EF=EP=PF= （18﹣3x）=6﹣x，

作CM⊥PD于M，EN⊥PF于N，

則DM= PD= x，PN= PF= （6﹣x），

∴CM= DM= x，EN= （6﹣x），

∴△CDP的面積= PDCM= x2，△EFP的面積= （6﹣x）2，

∴等邊△CDP和△EFP的面積之和S= x2+ （6﹣x）2= x2﹣3 x+9 ，

∵ ＞0，

∴S有最小值，沒有最大值．

【解析】（1）由等邊三角形的性質容易得出結果；（2）設CD=PC=PD=x，則EF=EP=PF=6﹣x，求出等邊△CDP和△EFP的面積之和S= x2﹣3 x+9 ， ＞0，得出S有最小值，沒有最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)，還要掌握等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)的相關知識才是答題的關鍵．