Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點B（1，0）和點C（9，0）兩點，與y軸的負半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，M為y軸正半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D，交拋物線于點N．

（1）求點A坐標和⊙P的半徑；
（2）求拋物線的解析式；
（3）當△MOB與以點B、C、D為頂點的三角形相似時，求△CDN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示：過點P作PE⊥BC，垂足為E．

∵PE⊥BC，

∴BE=EC=4．

∴OE=5．

∵⊙P與y軸相切，

∴PA⊥y軸．

∵∠PAO=∠AOE=∠OEP=90°，

∴四邊形AOEP為矩形．

∴AP=OE=5，AO=EP．

∴⊙P的半徑為5．

在Rt△BEP中，PE= = =3．

∴OA=3．

∴點A的坐標為（0，﹣3）

（2）

解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣9），將點A的坐標代入得：9a=﹣3，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2 x﹣3

（3）

解：如圖2所示：當直線MB經過點P時．

∵BD為⊙P的直徑，

∴∠BCD=90°．

∴∠BCD=∠MOB=90°．

又∵∠MBO=∠CBD，

∴△MOB∽△DCB．

設MB的解析式為y=kx+b，將點B和點D的坐標代入得 ，解得：k=﹣ ，b= ．

∴直線MB的解析式為y=﹣ x+ ．

將x=9代入得y=﹣6．

∴CD=6．

將y=﹣ x+ 與y=﹣ x2 x﹣3聯立解得：x=1或x= ．

△CDN的面積= DC（xN﹣xD）= ×6× =

【解析】（1）過點P作PE⊥BC，垂足為E，連結AP．依據垂徑定理可知BE=EC=4則OE=5，然后再證明四邊形AOEP為矩形可求得到AP=OE=5，在Rt△BEP中，依據勾股定理可求得PE的長；（2）設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣9），將點A的坐標代入求解即可；（3）△MOB為直角三角形，則△BDC為直角三角形，故此只存在∠BCD為直角的情況，則MB經過點P，然后求得MB的解析式，將直線BM的解析式與拋物線的解析式組成方程組可求得點N的坐標，然后依據CD∥y軸可求得點CD的長，最后依據△CDN的面積= DC（xN﹣xD）求解即可．