Question

3．如圖，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=6，AC=8，點D是AC的中點，點P為AB邊上的動點（P不與A重合），AP=t（t＞0），PH⊥AC于點H，則PH=$\frac{3}{5}$t，連結DP并延長至點E，使得PE=PD，作點E關于AB的對稱點F，連結FH
（1）用t的代數式表示DH的長；
（2）求證：DF∥AB；
（3）若△DFH為等腰三角形，求t（0＜t≤5）的值．（提示：以∠A為較小銳角的直角三角形的三邊比為3：4：5）

Answer 1

分析 （1）分兩種情形計算即可：①當0＜t≤5時，DH=AD-AH；②當5＜t≤10時，DH=AH-AD；
（2）由PD=PE，PE=PF，推出PE=PF=PD，進而推出△EFD是直角三角形，推出∠EFD=90°，進而推出DF⊥EF，由此即可證明DF∥AB；
（3）分三種情形進行討論：①當DH=DF時，②當FD=FH時，③當DH=DF時，用t表示PM、DF，根據DF=2PM列出方程，即可求得t的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=Rt∠，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵DA=DC=4，PH=$\frac{3}{5}$t，AP=t，
∴AH=$\frac{4}{5}$t，
①當0＜t≤5時，DH=AD-AH=4-$\frac{4}{5}$t，
②當5＜t≤10時，DH=AH-AD=$\frac{4}{5}$t-4；

（2）證明：如圖，連接PF，
∵E、F關于AB對稱，
∴AB垂直平分EF，
∴PE=PF
∴∠PEF=∠PFE，
又∵PE=PD，
∴PF=PD，
∴∠PFD=∠PDF，
∵∠PEF+∠PFE+∠PFD+∠PDF=180°，
∴∠EFD=∠PFE+∠PFD=90°，
 即DF⊥EF，
又∵AB⊥EF，
∴DF∥AB；

（3）∵DF∥AB，
∴∠A=∠FDA，∠AMN=∠C=∠DFN=∠PHA=90°，
∴△AMN∽△ACB∽△DFN，
∴BC：AC：AB=NM：AM：AN=NF：DF：DN=PH：AH：AP=3：4：5，
①如圖1中，當DH=DF時，
∵AP=t，
∴AH=$\frac{4}{5}$t，PH=$\frac{3}{5}$t，DH=DF=4-$\frac{4}{5}$，DN=$\frac{5}{4}$（4-$\frac{4}{5}$t）=5-t，AN=4-DN=t-1，AM=$\frac{4}{5}$（t-1），
∴PM=PA-AM=t-$\frac{4}{5}$（t-1）=$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$t，
∵PF=PD，PM∥DF，
∴EM=FM，
∴DF=2PM，
∴4-$\frac{4}{5}$t=2（$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$t），
∴t=2．
②如圖2中，當FD=FH時，
∵DH=4-$\frac{4}{5}$t，
∴DF=FH=$\frac{5}{4}$•$\frac{1}{2}$DH=$\frac{5}{8}$（4-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t，DN=$\frac{5}{4}$DF=$\frac{25}{8}$-$\frac{5}{8}$t，
∴AN=4-$\frac{25}{8}$+$\frac{5}{8}$t=$\frac{7}{8}$+$\frac{5}{8}$t，PM=AP-AM=$\frac{3}{8}$t-$\frac{7}{8}$，
∵DF=2PM，
∴$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t=2（$\frac{3}{8}$t-$\frac{7}{8}$），
∴t=$\frac{17}{5}$．
③如圖3中，當DH=DF時，
∵DF=DH=4-$\frac{4}{5}$t，
∴DN=$\frac{5}{4}$DF=5-t，
∴AN=4+DN=9-t，AM=$\frac{4}{5}$AN=$\frac{36}{5}$-$\frac{4}{5}$t，
∴PM=AM-AP=$\frac{36}{5}$-$\frac{9}{5}$t，
∵DF=2PM，
∴4-$\frac{4}{5}$t=2（$\frac{36}{5}$-$\frac{9}{5}$t），
∴t=$\frac{26}{7}$，
綜上所述，當t=2s或$\frac{17}{5}$s或$\frac{26}{7}$s時，△DFH是等腰三角形．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質、直角三角形的判定、等腰三角形的判定和性質、三角形的中位線定理等知識的綜合應用，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會用轉化的思想思考問題，學會構建方程解決問題．