Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；

（3）求當線段AM最短時的長度

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=1或；（3）．

【解析】

試題（1）由AB=AC，根據等邊對等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得：△ABE∽△ECM；

（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案；

（3）先設BE=x，由△ABE∽△ECM，根據相似三角形的對應邊成比例，易得CM=-（x-3）2+，利 用二次函數的性質，繼而求得線段AM的最小值．

試題解析：（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠CEM=∠BAE，

∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC-EC=6-5=1，

當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴

∴CE=

∴BE=6-

∴BE=1或

（3）解：設BE=x，

又∵△ABE∽△ECM，

∴

即：

∴CM=

∴AM=-5-CM=

∴當x=3時，AM最短為．