Question

半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P．已知BC：CA=4：3，點P在弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）求證：△ABC∽△PQC；          
（2）當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；
（3）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；
（4）當點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理的推論：直徑所對圓周角為直角可證得：∠ACB=90°，再利用同弧所對的圓周角相等即可證明：△ABC∽△PQC；    
（2）由題意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，則△ACB∽△PCQ，

AC

PC

=

BC

CQ

，求得CQ；
（3）點P在

AB

上運動時，有CQ=

4

3

PC．當PC最大時，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值；
（4）根據已知得BE，再由三角函數得出PE，PC，從而求出CQ．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴△ABC∽△PQC；

（2）解：當點P運動到與點C關于AB對稱時，此時CP⊥直徑AB于D，
∴CP=2CD
∵AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC?BC=AB?CD，
∴CD=4.8．
∴CP=2CD=9.6，
∵△ABC∽△PQC，
∴

BC

CQ

=

AC

PC

，
∴CQ=12.8；

（3）解：因為點P在⊙O上運動過程中，始終有△ABC∽△PQC
所以PC最大時，CQ取到最大值．
∴當PC過圓心O，即PC 取最大值 10時，CQ最大，最大為

40

3

．

（4）解：當點P運動到弧AB的中點時，如圖所示，過點B作BE⊥PC于點E，
∵P是弧AB的中點，∠PCB=45°，
∴∠PCA=45°，
∴在Rt△CBE中，CE=BE=4

2

，易證：△ABC∽△PBE，∴PE=3

2

，
∴CP=7

2

∴CQ=7

2

×

4

3

=

28 2

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、圓周角定理和解直角三角形，是中考壓軸題，難度偏大．