Question

如圖（Ⅰ），在平面直角坐標系中，⊙O′是以點O′（2，-2）為圓心，半徑為2的圓，⊙O″是以點O″（0，4）為圓心，半徑為2的圓．
（1）將⊙O′豎直向上平移2個單位，得到⊙O₁，將⊙O″水平向左平移1個單位，得到⊙O₂如圖（Ⅱ），分別求出⊙O₁和⊙O₂的圓心坐標．
（2）兩圓平移后，⊙O₂與y軸交于A、B兩點，過A、B兩點分別作⊙O₂的切線，交x軸與C、D兩點，求△O₂AC和△O₂BD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據“左減右加，下減上加”的規律對點O′，O″的坐標進行平移即可得到點O₁，O₂的坐標；
（2）先求出點A、B的坐標，然后連接O₂A，O₂B，根據直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得出∠O₂AB=∠O₂BA=30°，又AC與BD是圓的切線，然后求出∠OAC=∠OBD=60°，利用特殊角的三角函數與點A，B的坐標即可求出AC、BD的長，最后代入三角形的面積公式進行計算即可．

解答：解：（1）∵-2+2=0，
∴點O₁的坐標為：（2，0），
∵0-1=-1，
∴點O₂的坐標為：（-1，4）；


（2）如圖，連接O₂A，O₂B，∵⊙O₂的半徑為2，圓心O₂到y軸的距離是1，
∴∠O₂AB=∠O₂BA=30°，
∴AB=2×2cos30°=2

3

，
∴點A、B的坐標分別為A（0，4-

3

），B（0，4+

3

），
∵AC，BD都是⊙O₂的切線，
∴∠OAC=180°-90°-30°=60°，
∠OBD=90°-30°=60°，
∴AC=（4-

3

）÷cos60°=8-2

3

，
BD=（4+

3

）÷cos60°=8+2

3

，
∴S_△O2AC=

1

2

×AC×O₂A=

1

2

×（8-2

3

）×2=8-2

3

，
S_△O2BD=

1

2

×BD×O₂B=

1

2

×（8+2

3

）×2=8+2

3

．
故答案為：8-2

3

，8+2

3

．

點評：本題主要考查了切線的性質與坐標的平移，利用數據的特點求出30度角是解題的關鍵，也是解答本題的難點與突破口，本題難度適中，有一定的綜合性．