Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為8，動點M從點B出發，沿B→A→C→B的方向以每秒3個單位長度的速度運動，動點N從點C出發，沿C→A→B－C的方向以每秒2個單位長度的速度運動.

（1）若動點M、N同時出發，經過幾秒第一次相遇？

（2）若動點M、N同時出發，且其中一點到達終點時，另一點即停止運動．在△ABC的邊上是否存在一點D，使得以點A、M、N、D為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時運動的時間及點D的具體位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）經過t=s第一次相遇. （2）運動了或s時，A、M、N、D四點能夠成平行四邊形，此時點D在BC上，且BD=或．

【解析】

（1）設經過t秒鐘兩點第一次相遇，然后根據點M運動的路程+點N運動的路程=AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根據題意畫出圖形：如圖②，當0≤t≤時，AN+CN=MB+CN=8；當＜t≤4時，此時A、M、N三點在同一直線上，不能構成平行四邊形；當4＜t≤時，AN+NB=AN+AM=8；當＜t≤8時，△BNM為等邊三角形，由BN=BM可求得t的值，可得此時M、N重合，不能構成平行四邊形．．

（1）由題意得：3t+2t=16，解得：t=；

答：若動點M、N同時出發，經過t=s第一次相遇.
（2）①當0≤t≤時，點M、N、D的位置如圖2所示：

∵四邊形ANDM為平行四邊形，
∴DM=AN，DM∥AN．
∴∠MDB=∠C=60°
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠MDB =∠B．
∴MB=MD= AN
∴AN+CN=MB+CN=8，即：3t+2t=8，t=，
此時點D在BC上，且BD=（或CD=），
②當＜t≤4時，此時A、M、N三點在同一直線上，不能構成平行四邊形；
③4＜t≤時，點M、N、D的位置如圖所1示：

∵四邊形ANDM為平行四邊形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠NDB=∠C=60°
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C =60°．
∴∠NDB=∠B．
∴BN=ND= AM．
∴AN+NB=AN+AM=8，2t-8+3t-8=8，解得：t=，
此時點D在BC上，且BD=（或CD=），
④當＜t≤8時，點M、N、D的位置如圖所3示：

則BN=16-2t，BM=24-3t，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°．
若MN∥AC,則∠BNM=∠A=60°, ∠BMN=∠C=60°

∴△BNM為等邊三角形，
∴BN=BM，即：16-2t =24-3t，解得t=8，此時M、N重合，不能構成平行四邊形．
答：運動了或s時，A、M、N、D四點能夠成平行四邊形，此時點D在BC上，且BD=或．