Question

【題目】如圖，反比例函數y1=的圖象與一次函數y2=的圖象交于點A，B，點B的橫坐標實數4，點P（1，m）在反比例函數y1=的圖象上．

（1）求反比例函數的表達式；

（2）觀察圖象回答：當x為何范圍時，y1＞y2；

（3）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的表達式為y=；（2）x＜﹣4或0＜x＜4時，y1＞y2；（3）△PAB的面積為15．

【解析】

（1）利用一次函數求得B點坐標，然后用待定系數法求得反函數的表達式即可；

（2）觀察圖象可知，反函數的圖象在一次函數圖象上方的部分對應的自變量的取值范圍就是不等式y1＞y2的解；

（3）過點A作AR⊥y軸于R，過點P作PS⊥y軸于S，連接PO，設AP與y軸交于點C，由點A與點B關于原點對稱，得出OA=OB，則S△AOP=S△BOP，即S△PAB=2S△AOP，再求出點P的坐標，利用待定系數法求得直線AP的函數解析式，得到點C的坐標，然后根據S△AOP=S△AOC+S△POC，即可求得結果.

（1）將x=4代入y2=得：y=1，

∴B（4，1），

∴k=xy=4×1=4，

∴反比例函數的表達式為y=；

（2）由正比例函數和反比例函數的對稱性可知點A的橫坐標為﹣4．

∵y1＞y2，

∴反比例函數圖象位于正比例函數圖象上方，

∴x＜﹣4或0＜x＜4；

（3）過點A作AR⊥y軸于R，過點P作PS⊥y軸于S，連接PO，

設AP與y軸交于點C，如圖，

∵點A與點B關于原點對稱，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP，

y1=中，當x=1時，y=4，

∴P（1，4），

設直線AP的函數關系式為y=mx+n，

把點A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

得，

解得m=3，n=1，

故直線AP的函數關系式為y=x+3，

則點C的坐標（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

=OCAR+OCPS

=×3×4+×3×1

=，

∴S△PAB=2S△AOP=15．