Question

【題目】我們知道，在等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形中，三邊之間的比例關系分別如圖所示：

試借助上述結論，構造圖形，解決下面的問題：

如圖(1)，已知∠ACD=90°，MN是過點A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，

(1) 求證： BD+AB=CB；

(2) 當MN繞A旋轉到如圖(2)和圖(3)兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關系式，請寫出你的猜想，并對圖(3)給予證明；

(3) MN在繞點A旋轉過程中，當∠BCD=30°，BD=時，則CD=　 　，CB=　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) ; ；(3)2； .

【解析】試題分析：（1）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據此即可得到BE=CB，根據BE=AE+AB即可證得；

（2）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據此即可得到BE=CB，根據BE=AB-AE即可證得；

（3）過點B作BH⊥CD于點H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

試題解析：（1）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，

∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°，

∴∠BCD=∠ACE.

∵四邊形ACDB內角和為360°,

∴∠BDC+∠CAB=180°.

∵∠EAC+∠CAB=180°，

∴∠EAC=∠BDC.

又∵AC=DC,

∴△ACE≌△DCB,

∴AE=DB,CE=CB,

∴△ECB為等腰直角三角形,

∴BE=CB.

又∵BE=AE+AB,

∴BE=BD+AB,

∴BD+AB=CB；

(2)如圖(2) ABBD=CB.理由如下：

過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°∠DCE,∠BCD=90°∠ECD，

∴∠BCD=∠ACE.

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°∠AFC,∠D=90°∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

在△ACE和△DCB中, ，

∴△ACE≌△DCB(ASA)，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=CB.

又∵BE=ABAE，

∴BE=ABBD，

∴ABBD=CB.

如圖(3):BDAB=CB.理由如下：

過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE.

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°∠AFB,∠D=90°∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=CB.

又∵BE=AEAB,

∴BE=BDAB，

∴BDAB=CB.

(3)MN在繞點A旋轉過程中，這個的意思并沒有指明是哪種情況，

∴綜合了第一個圖和第二個圖兩種情況，

若是第1個圖：

由(1)得：△ACE≌△DCB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴∠AEC=45°=∠CBD，

過D作DH⊥CB.則△DHB為等腰直角三角形。

BD=BH,

∴BH=DH=1.

直角△CDH中,∠DCH=30°，

∴CD=2DH=2,CH=.

∴CB=+1；

若是第二個圖：過D作DH⊥CB交CB延長線于H.

解法類似上面,CD=2,得出CB=1；

故答案為：2, +1或1.