Question

24、一個自然數a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數”．
（1）請你舉例說明：“希望數”一定存在．
（2）請你證明：如果a，b都是“希望數”，則ab一定是729的倍數．

Answer 1

分析：（1）根據希望數的定義可知，428571=3×142857，故此數即為希望數；
（2）由于a、b均為希望數，所以存在一個由a的數字重新排列而成的自然數p，使得a=3p并且a的數字和等于p的數字和，根據整除的判別法可知a為3的倍數、p為9的倍數，再由a，b都是“希望數”，可知a，b都是27的倍數，設a=27n₁，b=27n₂（n₁，n₂為正整數）代入ab即可得出答案．

解答：解：（1）∵428571=3×142857，
∴428571是一個“希望數”．
（2）∵a為“希望數”，依“希望數”定義知，存在一個由a的數字重新排列而成的自然數p，使得a=3p并且a的數字和等于p的數字和．
∵a=3p和a為3的倍數，但a的數字和等于P的數字和，
∴由整除判別法，知p為3的倍數，
∴p=3m，（m為正整數），
∴a=3×p=3×3m=9m，
∴a被9整除．
∵a的數字和等于p的數字和，
∴由被9整除的判別法可知p能被9整除，即p=9k（k為整數），
∴p=3a=3×9k=27k
∴a是27的倍數．
∴“希望數”一定能被27整除．
∵a，b都是“希望數”，
∴a，b都是27的倍數，即a=27n₁，b=27n₂（n₁，n₂為正整數）．
∴ab=（27n₁）（27n₂）
=（27×27）（n₁×n₂）
=729n₁n₂．
∴ab一定是729的倍數．

點評：本題考查的是“希望數”的定義及數的整除性問題，根據題意掌握“希望數”的定義是解答此題的關鍵．