Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一點，且DB=DC，過BC上一點P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，則PE+PF的長是

1. A.
   
2. B.
   6
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：作PM⊥AC于點M可得矩形AEPM，易證△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根據勾股定理就可以求得．
解答：解：（1）作PM⊥AC于點M，可得矩形AEPM
∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB
∵PM∥AB．
∴∠B=∠MPC
∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°
∴△PFC≌△CMP
∴PF=CM
∴PE+PF=AC
∵AD：DB=1：3
∴可設AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2x，BC=2x
∵BC=
∴x=2
∴PE+PF=AC=2×2=4．
（2）連接PD，PD把△BCD分成兩個三角形△PBD，△PCD，
S_△PBD=BD•PE，
S_△PCD=DC•PF，
S_△BCD=BD•AC，
所以PE+PF=AC=2×2=4．
故選C．
點評：解決本題的關鍵是作出輔助線，把所求的線段轉移到一條線段求解．