Question

【題目】如圖17－Z－12所示，等腰三角形ABC的底邊長為8 cm，腰長為5 cm，一動點P在底邊上從點B向點C以0.25 cm/s的速度移動，請你探究：當點P運動幾秒時，點P與頂點A的連線AP與腰垂直？

圖17－Z－12

Answer 1

【答案】當點P運動7 s或25 s時，點P與頂點A的連線AP與腰垂直

【解析】試題分析：分類討論，AP分別與兩個腰垂直，利用勾股定理計算時間.

應分兩種情況：

(1)設當點P運動t(0≤t≤32)s時，AP與腰AC垂直，過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖①所示．因為△ABC為等腰三角形，所以D為BC的中點，則BD＝CD＝4 cm，根據勾股定理得AD＝3 cm.在Rt△ACP中，AP2＝CP2－AC2＝(8－0.25t)2－52，在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋DP2＝32＋(4－0.25t)2，所以(8－0.25t)2－52＝32＋(4－0.25t)2，解得t＝7.因此當23點P運動7 s時，AP與腰AC垂直．

(2)設當點P運動t(0≤t≤32)s時，AP與腰AB垂直，過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖②所示．因為△ABC為等腰三角形，所以D為BC的中點，則BD＝CD＝4 cm，根據勾股定理得AD＝3 cm.在Rt△ABP中，AP2＝BP2－AB2＝(0.25t)2－52，在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋DP2＝32＋(0.25t－4)2，所以(0.25t)2－52＝32＋(0.25t－4)2，解得t＝25.因此當點P運動25 s時，AP與腰AB垂直．

綜上，當點P運動7 s或25 s時，點P與頂點A的連線AP與腰垂直