Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點是拋物線頂點，點是直線下方的拋物線上一動點．

（）這個二次函數的表達式為____________．

（）設直線的解析式為，則不等式的解集為___________．

（）連結、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

（）當四邊形的面積最大時，求出此時點的坐標和四邊形的最大面積．

（）若把條件“點是直線下方的拋物線上一動點．”改為“點是拋物線上的任一動點”，其它條件不變，當以、、、為頂點的四邊形為梯形時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）當P（，）時，S四邊形ABPC最大；（5）點P的坐標為（－2，5），（2，－3）或（4，5）．

【解析】試題分析：（1）直接設成頂點式即可得出拋物線解析式；

（2）先確定出點B，C坐標，再根據圖象直接寫出范圍；

（3）利用菱形的性質得出PO=PC即可得出點P的縱坐標，代入拋物線解析式即可得出結論；

（4）先利用坐標系中幾何圖形的面積的計算方法建立函數關系式即可求出面積的最大值；

（5）先求出直線BC，BC，CD的解析式，分三種情況利用梯形的性質，一組對邊平行即可得出直線DP1，CP2，BP3的解析式，分別聯立拋物線的解析式建立方程組求解即可．

試題解析：解：（1）∵點D（1，﹣4）是拋物線y=x2+bx+c的頂點，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3．故答案為：x＜0或＞3；

（3）如圖1．∵四邊形POP′C為菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴點P的縱坐標為﹣．∵P在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；

（4）如圖2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，過點P作PE∥y軸交BC于E，設P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=ABOC+PE|xP|+PE|xB﹣xP|

=ABOC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）

=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+

當m=時，S四邊形ABPC最大=．

當m=時，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．

（5）如圖，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，直線BD的解析式為y=2x﹣6，直線CD的解析式為y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3①；

①當DP1∥BC時，∴直線DP1的解析式為y=x﹣5②，聯立①②解得，點P1（2，﹣3），[另一個點為（1，﹣4）和點D重合，舍去]

②當CP2∥BD時，∴直線CP2的解析式為y=2x﹣3③，聯立①③解得點P2（4，5）

③當BP3∥CD時，∴直線BP3∥CD的解析式為y=﹣x+3④，聯立①④解得點P3（﹣2，5）．

綜上所述：以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形時，點P的坐標為（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．