Question

【題目】閱讀材料并解決問題：

（1）數學課上，老師提出如下問題：

觀察下列算式：

；

；

…

若字母表示自然數，用含的式子表示觀察得到的規律是 ；

（2）小云同學解決完老師提出的問題后，又繼續研究，發現：

①當表示負整數且時，上述規律仍舊成立；

②當表示分數且時，上述規律仍舊成立.

請你對小云的兩個發現進行驗證，每個發現舉出一個算式；

（3）請你參照小云同學的研究思路，進行猜想，驗證、歸納，當時， （用含的代數式表示）；

（4）進一步進行猜想、驗證、歸納，當（為有理數）時， （用含，，的代數式表示）。

Answer 1

【答案】（1）a+b；（2）見解析；（3）2(a+b)；（4）m(a+b).

【解析】

（1）觀察所給出的式子可得出相差1的兩個數的平方差的關系，進而可用a，b表示出規律；

（2）①運用平方差公式進行驗證即可；

②運用平方差公式進行驗證即可；

（3）依據連續偶數（奇數）平方差公式進行猜想，驗證、歸納可得；

（4）依據前3小問的經驗可總結出.

（1）；

；

若字母表示自然數，則有a-b=1,

∴用含的式子表示觀察得到的規律是；

（2）①當表示負整數且時，

當a=-2，b=-3時，（-2）2-（-3）2=4-9=-5

-2+（-3）=-5

∴（-2）2-（-3）2=-2+（-3）

②當表示分數且時，

當，時，

，

∴

（3）；

；

若字母表示連續偶數（奇數），則有a-b=2,

∴用含的式子表示觀察得到的規律是2（）；

（4）當（為有理數）時，，

所以，.