Question

如圖1，直線y=-2x+8分別交y軸、x軸于A、B兩點．
（1）求點A、B的坐標：
（2）如圖1，點P為線段AB上的動點（點P不與點A、B重合），過點P作PE⊥x軸于點E，作PF⊥y軸于點F，求矩形PEOF的面積S₁與點P的橫坐標m之間的函數關系式，并求出當m為何值時，S₁最大，最大值是多少？
（3）在（2）的條件下，當S₁最大時，將直線l從與直線AB重合的位置出發，沿y軸負方向向下平移a（0＜a≤8）個單位，設直線l掃過矩形PEOF的面積為S₂，求S₂與a之間的函數關系式，并在圖2中畫出他們之間的函數關系圖象（畫出草圖即可）．

Answer 1

（1）在y=-2x+8中，令x=0，解得y=8，則A的坐標是（0，8）；
令y=0，解得x=4，則B的坐標是（4，0）；

（2）在y=-2x+8中令x=m，則y=-2m+8
則S₁=m（-2m+8），即S₁=-2m²+8m，
當m=-

8

-4

=2時，S₁有最大值是-2×2²+8×2=8，此時P的坐標是（2，4）；

（3）∵P的坐標是（2，4），
∴S_矩形PEOF=8，E的坐標是（2，0），F的坐標是（0，4），
過F且平行于AB的直線解析式是：y=-2x+b，把（0，4）代入得：b=4，則解析式是y=-2x+b，
在y=-2x+4中，令y=0，解得：x=2，則一定經過點E．
則當0＜a≤4時，直線l掃過矩形PEOF的部分是直角三角形，設向下平移a個單位長度，則直線的解析式是：y=-2x+8-a，設與PF交于點M，在y=-2x+8-a中令y=4，解得：x=2-

1

2

a，則M的坐標是（2-

1

2

a，4），則PM=

1

2

a；
設與PE交于點N，在y=-2x+8-a中令x=2，解得：y=4-a，則N的坐標是（2，4-a），則PN=a，則S₁=

1

2

PM•PN=

1

2

×

1

2

a•a=

1

4

a²；
當4＜a≤8時，設直線與y軸交點是G，則OG=8-a，設與x軸的交點是H，則OH=

1

2

（8-a）=4-

1

2

a，
S_△OGH=

1

2

OG•OH=

1

2

（8-a）•（4-

1

2

a）=

1

4

（8-a）²．
則S₁=8-

1

4

（8-a）²．
即S₁=-

1

4

a²+4a-8．