Question

（2011湖南衡陽(yáng)，24，8分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且與OA的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)D．
(1)判斷CD與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【解】 (1) CD與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由如下：
作直徑CE，連結(jié)AE．
∵CE是直徑，∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，
∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，
∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥D C，∴CD與⊙O相切．
（2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，
又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，
∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，
∴∠DOA=60°，
∴在Rt△DCO中， =，
∴DC=OC=OA=2．

略