Question

【題目】如圖，在等腰中，，，是邊上的中點，點，分別是邊，上的動點，點從頂點沿方向作勻速運動，點從從頂點沿方向同時出發，且它們的運動速度相同，連接，．

（1）求證：．

（2）判斷線段與的位置及數量關系，并說明理由．

（3）在運動過程中，與的面積之和是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE⊥DF，DE=DF，證明見解析；（3）△BDE與△CDF的面積之和始終是一個定值，這個定值為8．

【解析】

（1）由題意根據全等三角形的判定運用SAS，求證即可；

（2）根據全等三角形的性質結合中點和垂線定義，進行等量替換即可得出線段與的位置及數量關系；

（3）由題意根據全等三角形的性質得出S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC， 進而分析即可得知與的面積之和.

解：（1）∵AB=AC，D是BC邊上的中點，

∴AD是BC邊上的高

又∵∠BAC=90°，

∴∠ABD=∠DAF=∠BAD=45°，

∴BD=AD

又由題意可知BE=AF，

∴△BDE≌△ADF(SAS).

（2）∵DE⊥DF，DE=DF,

理由如下：

∵△BDE≌△ADF，

∴DE=DF，∠BDE=∠ADF

∵AB=AC，D是BC邊上的中點，

∴AD⊥BC，∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠ADE+∠ADF=90°，DE⊥DF.

（3）在運動過程中，△BDE與△CDF的面積之和始終是一個定值

∵AB=AC，D是BC邊上的中點，∠BAC=90°，

∴AD=BD=BC=4

又∵△BDE≌△ADF

S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC

又∵S△ADC=S△ABC=．BC．AD=8

∵點E，F在運動過程中，△ADC的面積不變，

∴△BDE與△CDF的面積之和始終是一個定值，這個定值為8．