Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，過點的直線與拋物線交于點，其中點的坐標是，點的坐標是，拋物線的頂點為點．

（1）求拋物線和直線的解析式．

（2）若點是拋物線上位于直線上方的一個動點，求的面積的最大值及此時點的坐標．

（3）若拋物線的對稱軸與直線相交于點，點為直線上的任意一點，過點作交拋物線于點，以，，，為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值為，此時點P(，)；（3）能，(0，1)，(，)或(，)

【解析】

（1）直接利用待定系數法進行求解，即可得到答案；

（2）設點P(m，-m2-2m+3)，則Q(m，-m+1)，求出PQ的長度，結合三角形的面積公式和二次函數的性質，即可得到答案；

（3）根據題意，設點M(t，-t+1)，則點N(t，-t2-2t+3)，可分為兩種情況進行①當點M在線段AC上時，點N在點M上方；②當點M在線段AC（或CA）延長線上時，點N在點M下方；分別求出點M的坐標即可．

解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c過點A(1，0)，C(-2，3)，

∴解得：

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3．

設直線AC的解析式為y=kx+n．

將點A，C坐標代入，得

解得

∴直線AC的解析式為y=-x+1．

（2）過點P作PQ∥y軸交AC于點Q．

設點P(m，-m2-2m+3)，則Q(m，-m+1)．

∴PQ=(-m2-2m+3)-(-m+1)=-m2-m+2．

∴S△APC=S△PCQ+S△APQ=PQ·(xA-xC)=(-m2-m+2)×3=．

∴當m=時，S△APC最大，最大值為，此時點P(，)．

（3）能．

∵y=-x2-2x+3，點D為頂點，

∴點D(-1，4)，

令x=-1時，y=-（-1）+1=2，

∴點E(-1，2)．

∵MN∥DE，

∴當MN=DE=2時，以D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

∵點M在直線AC上，點N在拋物線上，

∴設點M(t，-t+1)，則點N(t，-t2-2t+3)．

①當點M在線段AC上時，點N在點M上方，則

MN=(-t2-2t+3)-(-t+1)=-t2-t+2．

∴-t2-t+2=2，

解得：t=0或t=-1（舍去）．

∴此時點M的坐標為（0，1）．

②當點M在線段AC（或CA）延長線上時，點N在點M下方，則

MN=(-t+1)-(-t2-2t+3)=t2+t-2．

∴t2+t-2=2，

解得：t=或t=．

∴此時點M的坐標為（，）或（，）．

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為：（0，1），（，）或（，）．