Question

【題目】如圖，二次函數的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，．點在函數圖像上，軸，且，直線是拋物線的對稱軸，是拋物線的頂點．

（1）求、的值；

（2）如圖①，連接，線段上的點關于直線的對稱點恰好在線段上，求點的坐標；

（3）如圖②，動點在線段上，過點作軸的垂線分別與交于點，與拋物線交于點．試問：拋物線上是否存在點，使得與的面積相等，且線段的長度最小？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為和

【解析】

試題分析： （1）根據二次函數的對稱軸公式，拋物線上的點代入，即可；（2）先求F的對稱點，代入直線BE，即可；（3）構造新的二次函數，利用其性質求極值.

試題解析：.解：（1） 軸， ， 拋物線對稱軸為直線

點的坐標為

解得 或 （舍去），

（2）設點的坐標為 對稱軸為直線點關于直線 的對稱點 的坐標為.

直線 經過點 利用待定系數法可得直線的表達式為 .

因為點在上， 即點的坐標為

（3）存在點 滿足題意.設點坐標為 ，則

作 垂足為

①點 在直線的左側時，點的坐標為點的坐標為點的坐標為 在中， 時， 取最小值 .此時點的坐標為

②點在直線的右側時，點的坐標為同理， 時， 取最小值 .此時點的坐標為

綜上所述：滿足題意得點的坐標為和