Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）若CD=4，AC=4，求垂線段OE的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據切線性質得到OC與CD垂直，又AD與CD垂直，根據平面上垂直于同一條直線的兩直線平行得到AD與OC平行，由平行得一對內錯角相等，又因為兩半徑OA與OC相等，根據等邊對等角，得到一對相等的角，利用等量代換，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC為∠DAB的平分線；

（2）以O為圓心，以大于O到AC的距離為半徑畫弧，與AC交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點之間距離的一半長為半徑在AC的另一側畫弧，兩弧交于一點，經過此點與點O確定一條直線，即為所求的直線，如圖所示；

（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的長，利用勾股定理求出AD的長，再根據垂徑定理，由OE與AC 垂直，得到E為AC中點，求出AE的長，由（1）推出的角平分線得一對角相等，再由一對直角相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似，由相似得比例即可求出OE的長．

試題解析：（1）證明：連接OC．∵CD切⊙O于點C，∴OC⊥CD．又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC．∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；

（2）解：點O作線段AC的垂線OE如圖所示：

∴直線OE所求的直線；

（3）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4，∴AD===8．∵OE⊥AC，∴AE=AC=2．∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，∴△AEO∽△ADC，∴=，∴OE=×CD=×4=．即垂線段OE的長為．