Question

已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E．⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=2

7

，sin∠BCD=

3

4

．
（1）求證：CD∥BF；
（2）求弦CD的長；
（3）求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：
∵BF是⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；
（2）∵∠BCD=∠BAD，
∴sin∠DAE=sin∠BCD=

3

4

，AD=2

7

，
∴

DE

AD

=

3

4

，
∵AD=2

7

，
∴DE=

3 7

2

，
∵AE⊥DE，
∴CE=DE，
∴CD=2ED=3

7

；
（3）連結BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=

BD

AB

=

3

4

，
∴AB=

4

3

BD，
∵AD=2

7

，
由勾股定理得BD=6，AB=8，
∴⊙O的半徑為4．