Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是

AB

的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB、CA的延長線E、F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OD交于AB于點G．
∵D是

AB

的中點，OD為半徑，
∴AG=BG．（2分）
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位線．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．（2分）
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線．（1分）

（2）在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．（1分）
設半徑OC=OD=r，則OF=10-r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴

FO

FC

=

OD

CE

，（2分）
∴

10-r

10

=

r

6

，
∴r=

15

4

，
即：⊙O的半徑為

15

4

．（2分）