Question

【題目】結果如此巧合!

下面是小穎對一道題目的解答．

題目：如圖，Rt△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積．

解：設△ABC的內切圓分別與AC、BC相切于點E、F，CE的長為x．

根據切線長定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．

根據勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．

整理，得x2+7x=12．

所以S△ABC=ACBC

=（x+3）（x+4）

=（x2+7x+12）

=×（12+12）

=12．

小穎發現12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積．這僅僅是巧合嗎？

請你幫她完成下面的探索．

已知：△ABC的內切圓與AB相切于點D，AD=m，BD=n．

可以一般化嗎？

（1）若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn．

倒過來思考呢？

（2）若ACBC=2mn，求證∠C=90°．

改變一下條件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）S△ABC=mn；

【解析】

（1）設△ABC的內切圓分別與AC、BC相切于點E、F，CE的長為x，仿照例題利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根據S△ABC＝AC×BC，即可證明S△ABC＝mn.（2）由ACBC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）過點A作AG⊥BC于點G，在Rt△ACG中，根據條件求出AG、CG，又根據BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根據勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BCAG＝mn.

設△ABC的內切圓分別與AC、BC相切于點E、F，CE的長為x，

根據切線長定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，

（1）如圖1，

在Rt△ABC中，根據勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，

整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，

所以S△ABC＝ACBC

＝（x＋m）（x＋n）

＝ [x2＋（m＋n）x＋mn]

＝（mn＋mn）

＝mn;

（2）由ACBC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，

整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，

∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2

＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2

＝2mn＋m2＋n2

＝（m＋n）2

＝AB2，

根據勾股定理逆定理可得∠C＝90°；

（3）如圖2，過點A作AG⊥BC于點G，

在Rt△ACG中，AG＝ACsin60°＝（x＋m），CG＝ACcos60°＝（x＋m），

∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），

在Rt△ABG中，根據勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，

整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，

∴S△ABC＝BCAG

＝×（x＋n）（x＋m）

＝ [x2＋（m＋n）x＋mn]

＝×（3mn＋mn）

＝mn．