Question

【題目】如圖，AC切⊙O于點C，AB過圓心O交⊙O于點B、D，且AC=BC，若⊙O的半徑為2，圖中陰影部分的面積為 _____________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接OC，由AC切⊙O于點C，可得OC⊥AC，然后設∠A=x°，由AB=AC以及圓周角定理，可得∠B=x°，∠AOC=2x°；再連接CD，易得△OCD是等邊三角形．繼而可由S陰影=S△ACO-S扇形ODC求得答案．

連接OC．

∵AC切⊙O于點C，
∴OC⊥AC．
∴∠ACO=90°，
設∠A=x°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=x°．
∴∠AOC=∠OCB+∠B=2x°．
在Rt△ACO中，
∵∠A+∠AOC=90°，
∴x+2x=90．
∴x=30．
即∠A=30°．

連接DC．
在Rt△ACO中，∠AOC=90°-∠A=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形．
∴CD=OD=2，∠AOC=60°．
∵BD是直徑，
∴∠DCB=90°，BD=4．
由勾股定理得BC=2．
∴AC=BC=2．
∴S△ACO=ACOC=2，
S扇形ODC=π22=π，
∴S陰影=S△ACO-S扇形ODC=2-π．

故答案為：.