Question

如圖，拋物線y₁=-ax²-ax+1經過點P（-

1

2

，

9

8

），且與拋物線y₂=ax²-ax-1相交于A，B兩點．
（1）求a值；
（2）設y₁=-ax²-ax+1與x軸分別交于M，N兩點（點M在點N的左邊），y₂=ax²-ax-1與x軸分別交于E，F兩點（點E在點F的左邊），觀察M，N，E，F四點的坐標，寫出一條正確的結論，并通過計算說明；
（3）設A，B兩點的橫坐標分別記為x_A，x_B，若在x軸上有一動點Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，過Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D兩點，試問當x為何值時，線段CD有最大值，其最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）拋物線y₁=-ax²-ax+1經過點P（-

1

2

，

9

8

），則把P點的坐標代入解析式就可以求出A的值．
（2）求出A的值以后，兩個函數的解析式就可以求出，在解析式中，令y=0就可以求出函數與x軸的交點坐標，得出M，N，E，F四點的坐標．
（3）線段CD的長度可以用x表示出來，即y₂與y₁的差．CD的長度就可以表示為x的一個二次函數，求CD的最值，就是求函數的最值問題．

解答：解：（1）∵點P(-

1

2

，

9

8

)在拋物
y₁=-ax²-ax+1上，
∴-

1

4

a+

1

2

a+1=

9

8

，（2分）
解得a=

1

2

．（3分）

（2）如圖，由（1）知a=

1

2

，
∴拋物線y1=-

1

2

x2-

1

2

x+1，y2=

1

2

x2-

1

2

x-1．（5分）
當-

1

2

x2-

1

2

x+1=0時，解得x₁=-2，x₂=1．
∵點M在點N的左邊，
∴x_M=-2，x_N=1．（6分）
當

1

2

x2-

1

2

x-1=0時，解得x₃=-1，x₄=2．
∵點E在點F的左邊，
∴x_E=-1，x_F=2．（7分）
∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，
∴點M與點F對稱，點N與點E對稱．（8分）

（3）∵a=

1

2

＞0．
∴拋物線y₁開口向下，拋物線y₂開口向上．（9分）
根據題意，得CD=y₁-y₂=(-

1

2

x2-

1

2

x+1)-(

1

2

x2-

1

2

x-1)=-x2+2．（11分）
∵x_A≤x≤x_B，
∴當x=0時，CD有最大值2．（12分）

點評：本題主要考查了函數解析式與圖象的關系，在函數圖象上的點的坐標一定滿足函數的解析式．求最值的問題解決的基本思路是轉化為函數求最值的問題．