Question

如圖，拋物線y1=a(x-m)2與y₂關于y軸對稱，頂點分別為B、A，y₁與y軸的交點為C．若由A，B，C組成的三角形中，tan∠ABC=2．求：
（1）a與m滿足的關系式；
（2）如圖，動點Q、M分別在y₁和y₂上，N、P在x軸上，構成矩形MNPQ，當a為1時，請問：
①Q點坐標是多少時，矩形MNPQ的周長最短？
②若E為MQ與y軸的交點，是否存在這樣的矩形，使得△CEQ與△QPB相似？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線解析式求出頂點B的坐標，再根據軸對稱性求出y₂的解析式，然后求出點A的坐標，再求出點C的坐標，然后根據tan∠ABC=2列式整理即可得解；
（2）①先根據a=1求出m的值，得到兩拋物線的解析式，然后根據拋物線y₁的解析式設出點Q的坐標，再根據軸對稱的性質以及矩形的周長公式列式整理得到矩形MNPQ的周長表達式，然后根據二次函數的最值問題解答；
②根據點Q的坐標分別表示出CE、QE，PQ、PB，然后分（i）CE和PQ是對應邊時，利用相似三角形對應邊成比例列式進行計算即可得解；（ii）CE與PB是對應邊時，利用相似三角形對應邊成比例列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）y₁=a（x-m）²頂點B（m，0），
y₂=a（x+m） ²頂點A（-m，0），
交y軸于C（0，am ²），
∵tan∠ABC=2，
∴

CO

OB

=2，
即

am 2

m

=2，
∴am=2；

（2）①當a=1時，m=2，
所以y₁=（x-2） ²，
令Q（x，（x-2） ²），
則矩形MNPQ的周長：L=2×2x+2（x-2） ²=2x ²-4x+8=2（x-1） ²+6，
所以，當x=1時，周長的最短為6，
此時Q（1，1）；

②存在點Q₁（3，1），Q₂（3-

2

，3-2

2

），Q₃（3+

2

，3+2

2

）使得△CEQ與△QPB相似．
理由如下：∵當a=1時，m=2，
∴am²=4，
∴點C的坐標是（0，4），點B的坐標是（2，0），
又∵Q（x，（x-2） ²），
∴CE=|4-（x-2） ²|=|x²-4x|，QE=x，
PQ=（x-2） ²，PB=|2-x|，
（i）當CE和PQ是對應邊時，∵△CEQ與△QPB相似，
∴

CE

PQ

=

QE

PB

，
即

|x2-4x|

(x-2)2

=

x

|2-x|

，
整理得，|x-4|=|x-2|，
所以，x-4=-（x-2），
解得x=3，
此時（x-2） ²=（3-2） ²=1，
所以，點Q的坐標為（3，1），
（ii）CE與PB是對應邊時，
∵△CEQ與△QPB相似，
∴

CE

PB

=

QE

PQ

，
即

|x2-4x|

|2-x|

=

x

(x-2)2

，
整理得，|x-4|×|x-2|=1，
所以，（x-4）（x-2）=1或（x-4）（x-2）=-1，
x²-6x+7=0或x²-6x+9=0，
解得x₁=3-

2

，x₂=3+

2

，x₃=3，
當x₁=3-

2

時，（x-2） ²=（3-

2

-2） ²=3-2

2

，
當x₂=3+

2

時，（x-2） ²=（3+

2

-2） ²=3+2

2

，
綜上所述，存在點Q₁（3，1），Q₂（3-

2

，3-2

2

），Q₃（3+

2

，3+2

2

）使得△CEQ與△QPB相似．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了二次函數的頂點式解析式求頂點坐標，軸對稱的性質，二次函數的對稱性與矩形的對稱性以及矩形的周長公式，二次函數的最值問題，相似三角形對應邊成比例的性質，綜合性較強，但難度不大，要注意根據對應邊不同分情況討論．