Question

【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；……依次類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形，如圖1，平行四邊形中，若，則平行四邊形為1階準菱形．

（1）判斷與推理：

① 鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是__________階準菱形；

② 小明為了剪去一個菱形，進行如下操作：如圖2，把平行四邊形沿著折疊（點在上）使點落在邊上的點，得到四邊形，請證明四邊形是菱形．

（2）操作、探究與計算：

① 已知平行四邊形的鄰邊分別為1，裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出的值；

② 已知平行四邊形的鄰邊長分別為，滿足，請寫出平行四邊形是幾階準菱形．

Answer 1

【答案】（1）① 2，②證明見解析；（2）①見解析，②ABCD是10階準菱形．

【解析】

（1）①根據鄰邊長分別為2和3的平行四邊形經過兩次操作，即可得出所剩四邊形是菱形，即可得出答案；
②根據平行四邊形的性質得出AE∥BF，進而得出AE=BF，即可得出答案；
（2）①利用3階準菱形的定義，即可得出答案；
②根據a=6b+r，b=5r，用r表示出各邊長，進而利用圖形得出ABCD是幾階準菱形．

解：（1）①利用鄰邊長分別為2和3的平行四邊形經過兩次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，
故鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形；
故答案為：2；
②由折疊知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴四邊形ABFE是菱形；

（2）①如圖所示：
，
②答：10階菱形，
∵a=6b+r，b=5r，
∴a=6×5r+r=31r；
如圖所示：

故ABCD是10階準菱形．