Question

【題目】已知二次函數y＝x2+bx+c.

(Ⅰ)若二次函數的圖象經過(3，﹣2)，且對稱軸為x＝1，求二次函數的解析式；

(Ⅱ)如圖，在(Ⅰ)的條件下，過定點的直線y＝﹣kx+k﹣4(k≤0)與(1)中的拋物線交于點M，N，且拋物線的頂點為P，若△PMN的面積等于3，求k的值；

(Ⅲ)當c＝b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為21，求此時二次函數的解析式.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y＝x2﹣2x﹣5；(Ⅱ)k=2；(Ⅲ)y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7.

【解析】

(Ⅰ)根據題意得，，解得：，即可求解；

(Ⅱ)△PMN的面積S＝S△PGN﹣S△PGM＝GP(xN﹣xM)＝xN﹣xM＝＝3，即可求解；

(Ⅲ)分b+3≤﹣(即b≤﹣2)、b≥﹣(即b≥0)、﹣2＜b＜0三種情況，分別求解即可.

(Ⅰ)根據題意得，，

解得：，

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣5…①；

(Ⅱ)如圖1，

∵y＝﹣kx+k﹣4＝﹣k(x﹣1)﹣4…②，

聯立①②并整理得：x2﹣(2﹣k)x﹣k﹣1＝0，

則xM+xN＝2﹣k，xMxN＝﹣k﹣1，

xN﹣xM＝＝；

∴當x＝1時，y＝﹣4，即該直線所過定點G坐標為(1，﹣4)，

∵y＝x2﹣2x﹣5＝(x﹣1)2﹣6，

∴點P(1，﹣6)，

△PMN的面積S＝S△PGN﹣S△PGM＝GP(xN﹣xM)＝xN﹣xM＝＝3，

解得：k＝±2(舍去2)，故k＝﹣2；

(Ⅲ)拋物線的表達式為：y＝x2+bx+b2，

拋物線的對稱軸為x＝﹣；

①當b+3≤﹣(即b≤﹣2)時，

則x＝b+3時，函數取得最小值，

即(b+3)2+b(b+3)+b2＝21，

解得：b＝﹣4或1(舍去1)；

②當b≥﹣(即b≥0)時，

則x＝b時，函數取得最小值，

即b2+b2+b2＝21，解得：b＝(舍去負值)；

③當﹣2＜b＜0時，

則﹣b2+b2＝21，解得：b＝±2(舍去)；

綜上，b＝﹣4或，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7.