Question

【題目】如圖①，已知是等腰三角形，是邊上的高，垂足為，是底邊上的高，交于點．

（1）若．求證：≌；

（2）在圖②, 圖③中，是等腰直角三角形，點在線段上(不含點)，，且交于點，，垂足為．

ⅰ）如圖②，當點與點重合，試寫出與的數量關系；

ⅱ）如圖③，當點在線段上(不含點，)時，ⅰ）中的結論成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）ⅰ）；ⅱ）成立，證明見解析

【解析】

（1）如圖1，根據同角的余角相等證明，利用ASA證明≌；

（2）①如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明≌，則CP=AF，再證明≌，可得結論；

②結論仍然成立，過點作的平行線交于，且于的延長線相交于點，證明≌，得，再證明≌即可求解．

證明：（1）∵

∴

∵

∴

在和中

∴≌；

（2）ⅰ）：

證明過程如下：延長、交于點

∵

∴

∵

∴

∵是等腰直角三角形，

∴AE=CE，

又

∴≌

∴

∵

∴平分

則

∵

∴

又AD=AD

∴≌（ASA）

∴

∴

∴；

ⅱ）成立，即

證明如下：過點作的平行線交于，且于的延長線相交于點

∴,

∴=

∴是等腰直角三角形，

∴CQ=QB

同理可得≌

∴

∵=

∴BD平分

則

∵

∴=90

又BD=BD

∴≌（ASA）

∴

∴

∴．