Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=，CD=2，過A，B，D三點的☉O分別交BC，CD于點E，M，且CE=2，下列結論:①DM=CM；②弧AB=弧EM；③☉O的直徑為2；④AE=.其中正確的結論是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接BD，BM，AM，EM，DE，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到ABMD為矩形，利用矩形的對邊相等得到AB=DM，進而可證明DM=CM，故選項①正確；在Rt△DEC中，由M為CD的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DM與EM相等，從而AB=EM，所以弧AB=弧EM，故選項②正確；先證明四邊形AMCB為平行四邊形，可得出AM=BC，等量代換得到BC=BD，由BD為圓的直徑，可得△DEC為直角三角形，利用勾股定理可求出DE的長，設BE=x，則BD=BC=BE+EC=x+2，在Rt△BDE中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BC的長，即為BD的長，確定出圓的直徑，即可對于選項③作出判斷；在Rt△AEM中，由AM與ME的長，利用勾股定理求出AE的長，即可對于選項④作出判斷．

連接BD，BM，AM，EM，DE，

∵∠BAD=90°，

∴BD為圓的直徑，

∴∠BMD=90°，

∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，

∴四邊形ABMD矩形，

∴AB=DM，

又∵CD=2AB，

∴CD=2DM，即DM=MC；

故選項①正確；

在Rt△DEC中，M是DC中點，

∴EM=DM=CD=，

∴弧EM=弧DM，

又∵AB=DM，

∴弧AB=弧DM，

∴弧AB=弧EM，

故選項②正確；

∵AB∥MC，AB=MC，

∴四邊形ABCM是平行四邊形，

∴AM=BC，又BD=AM，

∴BD=BC，

∵BD是直徑，

∴∠BED=90°，即∠DEC=90°，

又EC=2，DC=2，

根據(jù)勾股定理得：DE==2，

設BE=x，BD=BC=BE+EC=x+2，

在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即x2+20=（x+2）2，

解得：x=4，

∴BD=6，故選項③錯誤；

在Rt△AEM中，AM=6，EM=，

根據(jù)勾股定理得：AE==；

故選項④正確；

則正確的選項為：①②④．

故選B.