Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線于點P．連接AC．

（1）求點P的坐標及直線AC的解析式；

（2）如圖2，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OF，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接FA、FC．求AF+CF的最小值；

（3）如圖3，點M為線段OA上一點，以OM為邊在第一象限內作正方形OMNG，當正方形OMNG的頂點N恰好落在線段AC上時，將正方形OMNG沿x軸向右平移，記平移中的正方形OMNG為正方形O′MNG，當點M與點A重合時停止平移．設平移的距離為t，正方形O′MNG的邊MN與AC交于點R，連接O′P、O′R、PR，是否存在t的值，使△O′PR為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（2，3），yAC＝﹣x+3；（2）；（3）存在，t的值為﹣3或，理由見解析

【解析】

（1）由拋物線y＝x2+x+3可求出點C，P，A的坐標，再用待定系數法，可求出直線AC的解析式；

（2）在OC上取點H（0，），連接HF，AH，求出AH的長度，證△HOF∽△FOC，推出HF＝CF，由AF+CF＝AF+HF≥AH，即可求解；

（3）先求出正方形的邊長，通過△ARM∽△ACO將相關線段用含t的代數式表示出來，再分三種情況進行討論：當∠O'RP＝90°時，當∠PO'R＝90°時，當∠O'PR＝90°時，分別構造相似三角形，即可求出t的值，其中第三種情況不存在，舍去．

（1）在拋物線y＝x2+x+3中，

當x＝0時，y＝3，

∴C（0，3），

當y＝3時，x1＝0，x2＝2，

∴P（2，3），

當y＝0時，則x2+x+3=0，

解得：x1＝﹣4，x2＝6，

B（﹣4，0），A（6，0），

設直線AC的解析式為y＝kx+3，

將A（6，0）代入，

得，k＝﹣，

∴y＝﹣x+3，

∴點P坐標為P（2，3），直線AC的解析式為y＝﹣x+3；

（2）在OC上取點H（0，），連接HF，AH，

則OH＝，AH＝，

∵，，且∠HOF＝∠FOC，

∴△HOF∽△FOC，

∴，

∴HF＝CF，

∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，

∴AF+CF的最小值為；

（3）∵正方形OMNG的頂點N恰好落在線段AC上，

∴GN＝MN，

∴設N（a，a），

將點N代入直線AC解析式，

得，a＝﹣a+3，

∴a＝2，

∴正方形OMNG的邊長是2，

∵平移的距離為t，

∴平移后OM的長為t+2，

∴AM＝6﹣（t+2）＝4﹣t，

∵RM∥OC，

∴△ARM∽△ACO，

∴，

即，

∴RM＝2﹣t，

如圖3﹣1，當∠O'RP＝90°時，延長RN交CP的延長線于Q，

∵∠PRQ+∠O'RM＝90°，∠RO'M+∠O'RM＝90°，

∴∠PRQ＝∠RO'M，

又∵∠Q＝∠O'MR＝90°，

∴△PQR∽△RMO'，

∴，

∵PQ＝2+t-2=t，QR＝3﹣RM＝1+t，

∴，

解得，t1＝﹣3﹣（舍去），t2＝﹣3；

如圖3﹣2，當∠PO'R＝90°時，

∵∠PO'E+∠RO'M＝90°，∠PO'E+∠EPO'＝90°，

∴∠RO'M＝∠EPO'，

又∵∠PEO'＝∠O'MR＝90°，

∴△PEO'∽△O'MR，

∴，

即，

解得，t＝；

如圖3﹣3，當∠O'PR＝90°時，延長O’G交CP于K，延長MN交CP的延長線于點T，

∵∠KPO'+∠TPR＝90°，∠KO'P+∠KPO'＝90°，

∴∠KO'P＝∠TPR，

又∵∠O'KP＝∠T＝90°，

∴△KO'P∽△TPR，

∴，

即，

整理，得t2-t+3＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝﹣＜0，

∴此方程無解，故不存在∠O'PR＝90°的情況；

綜上所述，△O′PR為直角三角形時，t的值為﹣3或．