Question

【題目】在中，以為斜邊，作直角，使點落在內， ．

（1）如圖1，若， ， ，點分別為、邊的中點，連接，求線段的長；

（2）如圖2，若，把繞點逆時針旋轉一定角度，得到，連接并延長交于點，求證： ；

（3）如圖3，若，過點的直線交于點，交于點， ，且，請直接寫出線段之間的關系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1）PM=7；（2）證明見解析；（3）BP=CP

【解析】試題分析：（1）根據直角三角形30度角性質求出AB，再根據三角形中位線定理即可求出PM．

（2）如圖2中，在ED上截取EQ=DP，連接CQ．首先證明△EQC≌△DPB，推出QC=PB，再證明QC=PC即可解決問題．

（3）結論：2AD2=FB2+CF2．如圖3中，連接AF交BD于N．由△AND∽△BNF，推出，推出，又∠ANB=∠DNF，推出△ANB∽△DNF，從∠DFN=∠ABD=45°，在RtABF中利用勾股定理即可證明．

試題解析：(1)如圖1中，

∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=，

∴∠BAD=30°，

∴AB=2BD，設BD=a，則AB=2a，

∵AB2=BD2+AD2，

∴(2a)2=a2+()2，

∴a=7，

∴AB=AC=14，

∵AM=MB，PB=PC，

∴PM=AC=7.

(2)證明：如圖2中，在ED上截取EQ=DP，連接CQ.

∵AD=AE，

∴∠1=∠2，

∵∠ADB=∠AEC=90°，

∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∵BD=EC，

∴△EQC≌△DPB，

∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，

∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=PC，

∴PB=PC.

(3)結論：2AD2=FB2+CF2.

理由：如圖3中，連接AF交BD于N.

∵∠ADB=90°，DA=DB，

∴∠DBA=∠DAB=45°，AB=AD，

∵∠AND=∠BNF,∠ADN=∠BFN=90°，

∴△AND∽△BNF，

∴，

∴，

∵∠ANB=∠DNF，

∴△ANB∽△DNF，

∴∠DFN=∠ABD=45°，

∵FE⊥AC，AE=EC，

∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，

∴∠AFC=∠AFB=90°，

∴AB2=BF2+AF2，

∴2AD2=BF2+CF2.