Question

如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）。

（1）求d的值；

（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內B、C兩點的對應點B′、C′正好落在某反比例函數圖像上。請求出這個反比例函數和此時的直線B′C′的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC交y軸于點G。問是否存在x軸上的點M和反比例函數圖像上的點P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形。如果存在，請求出點M和點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）作CN⊥x軸于點N。                                                   1分

在Rt△CNA和Rt△AOB中

∵NC＝OA＝2，AC＝AB

∴Rt△CNA≌Rt△AOB                                                  2分

則AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且點C在第二象限，

∴d＝－3                                                                3分

（2）設反比例函數為，點C′和B′在該比例函數圖像上，

設C′（E，2），則B′（E＋3，1）                                         4分

把點C′和Ｂ′的坐標分別代入，得k＝2E；k＝E＋3，

∴2E＝E＋3，E＝3，則k＝6，反比例函數解析式為。                    5分

得點C′（3，2）；B′（6，1）。

設直線C′B′的解析式為y＝ax＋b，把C′、B′兩點坐標代入得            6分

∴解之得：；

∴直線C′B′的解析式為。                                        7分

（3）設Q是G C′的中點，由G（0，3），C′（3，2），得點Q的橫坐標為，點Q的縱坐標為2＋＝，

∴Q（，）                                                          8分

過點Q作直線l與x軸交于M′點，與的圖象交于P′點，

        若四邊形P′G M′ C′是平行四邊形，則有P′Q＝Q M′，易知點M′的橫坐標大于，點P′的橫坐標小于

作P′Ｈ⊥x軸于點H，QK⊥y軸于點K，P′H與QK交于點E，

作QF⊥x軸于點F，則△P′EQ≌△QFM′                                     9分

設EQ＝FM′＝t，則點P′的橫坐標x為，點P′的縱坐標y為，

點M′的坐標是（，0）

∴P′E＝。                                                   10分

由P′Q＝QM′，得P′E²＋EQ²＝QF²＋FM′²，

∴

整理得：，解得（經檢驗，它是分式方程的解）             11分

∴；；。

得P′（，5），M′（，0），則點P′為所求的點P，點M′為所求的點M。