Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是射線CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），直線AE交直線BC于點(diǎn)G，∠BAE的平分線交射線BC于點(diǎn)O．
（1）如圖，當(dāng)CE=

2

3

時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，設(shè)

CE

ED

=x，BO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)CE=2ED時(shí)，求線段BO的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，CE=

2

3

，得DE=CD-CE=2-

2

3

=

4

3

，
又∵AD∥BC，即AD∥CG，
∴

CG

AD

=

CE

DE

=

1

2

，
得CG=1．
∵BC=2，
∴BG=3；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AG，垂足為點(diǎn)F．
∵AO為∠BAE的角平分線，∠ABO=90°，
∴OF=BO=y．
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴

CG

AD

=

CE

ED

=x．
∵AD=2，
∴CG=2x．
又∵

CE

ED

=x，CE+ED=2，
∴得CE=

2x

1+x

．
∵在Rt△ABG中，AB=2，BG=2+2x，∠B=90°，
∴AG=2

x2+2x+2

．
∵AF=AB=2，
∴FG=AG-AF=2

x2+2x+2

-2．
∵

OF

FG

=

AB

BG

，
即y=

AB

BG

•FG，
得y=

2 x2+2x+2 -2

x+1

．（x≥0）；

（3）當(dāng)CE=2ED時(shí)，

①當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)如圖（1），即x=2，由（2）得OB=y=

2 10 -2

3

；
②當(dāng)點(diǎn)O在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），CE=2DE=4，ED=2，在Rt△ADE中，AE=2

2

．
設(shè)AO交線段DC于點(diǎn)H，
∵AO是∠BAE的平分線，
∴∠BAH=∠HAE，
又∵AB∥CD，
∴∠BAH=∠AHE．
∴∠HAE=∠AHE．
∴EH=AE=2

2

．
∴CH=4-2

2

，
∵AB∥CD，
∴

CH

AB

=

CO

BO

，
∴

4-2 2

2

=

BO-2

BO

，得BO=2

2

+2．