Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系，O為坐標原點，點A（﹣1，0），點B（0， ）．

（1）求∠BAO的度數；
（2）如圖1，將△AOB繞點O順時針得△A′OB′，當A′恰好落在AB邊上時，設△AB′O的面積為S1 ， △BA′O的面積為S2 ， S1與S2有何關系？為什么？
（3）若將△AOB繞點O順時針旋轉到如圖2所示的位置，S1與S2的關系發生變化了嗎？證明你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣1，0），B（0， ），

∴OA=1，OB= ，

在Rt△AOB中，tan∠BAO= = ，

∴∠BAO=60°

（2）

解：∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，

∴CA'=AC= AB，

∴OA'=AA'=AO，

根據等邊三角形的性質可得，△AOA'的邊AO、AA'上的高相等，

∴△BA'O的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2

（3）

解：S1=S2不發生變化；

理由：如圖，過點'作A'M⊥OB．過點A作AN⊥OB'交B'O的延長線于N，

∵△A'B'O是由△ABO繞點O旋轉得到，

∴BO=OB'，AO=OA'，

∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°﹣90°=90°，

∴∠AON=∠A'OM，

在△AON和△A'OM中， ，

∴△AON≌△A'OM（AAS），

∴AN=A'M，

∴△BOA'的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2．

【解析】（1）先求出OA，OB，再用銳角三角函數即可得出結論；（2）根據等邊三角形的性質可得AO=AA'，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AO= AB，然后求出AO=OA'，再根據等邊三角形的性質求出點O到AB的距離等于點A'到AO的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；（3）根據旋轉的性質可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出∠AON=∠A'OM，然后利用“角角邊”證明△AON和△A'OM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的判定(三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)，還要掌握旋轉的性質(①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了)的相關知識才是答題的關鍵．