Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點D、E．
（1）若拋物線y=

1

4

x2+bx+c經過C、D兩點，求此拋物線的解析式并判斷點B是否在此拋物線上．
（2）若在（1）中的拋物線的對稱軸有一點P，使得△PBD的周長最短，求點P的坐標．
（3）若點M為（1）中拋物線上一點，點N為其對稱軸上一點，是否存在以點B、C、M、N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）據圓的圓心坐標A（3，0），以及圓的半徑，可求出C點的坐標C（8，0），B點的坐標B（-2，0），然后由勾股定理，求出D點的坐標（0，-4），將C，D坐標代入拋物線的解析式中，即可求得拋物線的解析式．將B點代入，即可判斷是否在拋物線上．
（2）要使△PBD的周長最短，由于邊BD是定值，只需PB+PD最小即可；
（3）此題要分兩種情況討論：①以BC角線的平行四邊形，此時MD∥x軸，則M、D的縱坐標相同，由此可求得M點的坐標；
②以BC的平行四邊，由于平行四邊形是中心對稱圖形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N縱坐標的絕對值相等

解答：解：（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
將C、D兩點代入得：

1 4 ×82+8b+c=0 c=-4

，
解得b=-

3

2

，c=-4，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x2-

3

2

x-4
∵

1

4

(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴點B在這條拋物線上．

（2）要使△PBD的周長最短，由于邊BD是定值，只需PB+PD最小，
∵點B、C關于對稱軸x=3對稱，
∴直線CD與對稱軸x=3的交點就是所求的點P．
設直線CD的解析式為y=kx+m．將C、D兩點代入，得

8k+m=0 m=-4

，
解得k=

1

2

，m=-4，
∴直線CD的解析式為y=

1

2

x-4當x=3時，y=-

5

2

，
∴點P的坐標為（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（13，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（3，-

25

4

），N（3，

25

4

）

點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，需注意的是（3）題在不確定平行四邊形邊和對角線的情況下需要分類討論，以免漏解．