Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為36cm，點O以6cm/s的速度從點B沿射線BC方向運動，射線AO交直線DC于點E.設點O運動的時間為t s.

⑴ 當t＝9時，DE的長為　　　　cm；

⑵ 設DE＝y，求y關于t的函數關系式；

⑶ 在線段BO上取點G，使得OC∶OG＝4∶5．當以OC為半徑的⊙O與直線AG相切時，求t的值.

Answer 1

【答案】(1)DE=24cm;(2) （t＞0）;(3) t的值為或12.

【解析】分析：(1)根據題意畫出圖形，再利用相似三角形的判定與性質得出答案;(2)利用相似三角形的判定與性質得出y關于t的函數關系式;(3)分別利用當點O在BC邊上，及當點O在BC延長線上時，得出點t的值.

詳解：⑴DE=24cm.

圖1 圖2

⑵由正方形ABCD得：∠B=∠D=90°，AB∥DC

由題意得：BO=6t

∵ AB∥CD ∴ ∠BAO=∠AED

∴ △ABO∽△EDA

∴

∴ ，整理得：

∴ y關于x的函數關系式為：（t＞0）.

⑶設OC=4x，則OG=5x

ⅰ如圖3，當點O在BC邊上，⊙O切AG于點P，OP=OC=4x

△OGP中，∠OPG=90°，

∴

∴ tan∠OGP=

∴ tan∠AGB=

△ABG中，∠B=90° tan∠AGB=，解得：BG=27

∴ BC=27＋5x＋4x=36 解得：x=1

∴ s

圖3 圖4

ⅱ如圖3，當點O在BC的延長線上時，⊙O切AG于點P，OP=OC=4x

同ⅰ可得：BG=27

∴ BC=27＋5x－4x=36 解得：x=9

∴ s

綜上：當以OC為半徑的⊙O與直線AG相切時，t的值為或12.

點睛:本題考查了圓的綜合，勾股定理的應用及相似三角形的判定與性質等知識，正確分類討論是解答本題的關鍵.