Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．點E、F分別為AC、BC的中點，連結EF、DE．

（1）請在圖1中找出長度相等的兩條線段？并說明理由．（AB＝AC除外）

（2）如圖2，當AC平分∠BAD，∠DEF＝90°時，求∠BAD的度數．

（3）如圖3，四邊形CDEF是邊長為2的菱形，求S四邊形ABCD．

Answer 1

【答案】（1）DE＝EF，見解析；（2）∠BAD＝60°；（3）S四邊形ABCD＝6．

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊的中線性質和三角形的中位線性質可得結論；

（2）先證明∠CEF=∠BAD，∠DEC=∠BAD，根據∠DEF=90°列方程得∠BAD的度數；

（3）由四邊形CDEF是菱形，說明△CDE是等邊三角形，再根據等底同高說明△CDE與△DEA間關系，根據相似說明△CAB與△CEF間關系，由DE=2得AB=4，得等邊△DEC的面積，利用三角形的面積間關系得結論．

（1）DE＝EF，

在△ABC中，點E，F分別為AC，BC的中點，

∴EF∥AB，且EF＝AB，

在Rt△ACD中，點E為AC的中點，

∴DE＝AC，

∵AB＝AC，

∴DE＝EF；

（2）∵AC平分∠BAD，EF∥AB，

DE＝AC＝AE＝EC，

∴∠BAC＝∠DAC，∠CEF＝∠BAC，∠DEC＝2∠DAC＝∠BAD，

∵∠DEF＝90°，

∴∠CEF+∠DEC＝∠BAC+2∠DAC＝90°，

∴∠BAC＝∠DAC＝30°，

∴∠BAD＝60°；

（3）四邊形ABCD的面積為：

∵四邊形CDEF是菱形，EC＝DE，

∴△CDE與△CEF都是等邊三角形，

∵EF＝DE＝CD＝CF＝2，

∴AB＝4，

∴S△DCE＝S△DEA＝S△CEF；

∵EF∥AB，

∴，

∴S△ABC＝4S△CEF＝4

∴S四邊形ABCD＝S△DCE+S△DEA+S△ABC＝2×+4＝6．