Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D的切線交BC于點E．

（1）求證：DE=BC；

（2）若四邊形ODEC是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：（1）連接DO，先可證明EC為⊙O的切線，然后依據切線長定理可得到DE=EC，然后再證明∠1=∠B，從而得到EB=ED，從而可證明DE=BC．

（2）由四邊形ODEC為正方形，可得到DE=OC=EC=OD，從而可得到AC=2OC，BC=2EC，從而得到BC=AC，故此可證明△ABC是等腰直角三角形．

詳解：（1）證明：連接DO，

∵∠ACB=90°，AC為直徑，

∴EC為⊙O的切線．

又∵ED也為⊙O的切線，

∴EC=ED．

又∵∠EDO=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠1+∠A=90°．

又∵∠B+∠A=90°，

∴∠1=∠B，

∴EB=ED，

∴DE=BC．

（2）△ABC是等腰直角三角形．

理由：∵四邊形ODEC為正方形，

∴OD=DE=CE=OC，∠DOC=∠ACB=90°．

∵DE=BC，AC=2OC，

∴BC=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．