Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（1，0），與y軸的交點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E，F(xiàn)分別是拋物線對(duì)稱軸CH上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F上方），且EF=1，求使四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)及最小值；

（3）如圖2，點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)，x軸上方的拋物線上的點(diǎn)，PQ⊥AC于點(diǎn)Q，是否存在這樣的點(diǎn)P使△PCQ與△ACH相似？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）故四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1， ），點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣1， ），四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值是+1+；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣， ）

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A（-3，0）、B（1，0）代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的方程組即可；

（2）先求得C（-1，4）．將D點(diǎn)向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，連結(jié)AM交對(duì)稱軸于F，作DE∥FM交對(duì)稱軸于E點(diǎn)，則四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值=BD+EF+AM，然后求得直線AM的解析式，從而可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后依據(jù)EF=1可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)△PCQ∽△ACH時(shí)，∠PCQ=∠ACH．過(guò)點(diǎn)A作CA的垂線交PC與點(diǎn)F，作FN⊥x軸與點(diǎn)N．則AF∥PQ，先證明△CPQ∽△CFA、△FNA∽△AHC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得AN=2，FN=1，則F（-5，1），然后再求得直線CF的解析式，將CF的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），

∴，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)C（﹣1，4）．

將D點(diǎn)向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，連結(jié)AM交對(duì)稱軸于F，作DE∥FM交對(duì)稱軸于E點(diǎn)，如圖1所示．

∵EF∥DM，DE∥FM，

∴四邊形EFMD是平行四邊形，

∴DE=FM，EF=DM=1，

DE+FB=FM+FA=AM．

由勾股定理，得AM= = = ，

BD== = ，

四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+（DE+FB）=BD+EF+AM= +1+ ；

設(shè)AM的解析式為y=mx+n，將A（﹣3，0），M（0，2）代入，解得m=，n=2，則AM的解析式為y= x+2，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ）．

故四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1， ），點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣1， ），四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值是 +1+ ；

（3）解：點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，當(dāng)△PCQ∽△ACH時(shí)，∠PCQ=∠ACH．

過(guò)點(diǎn)A作CA的垂線交PC與點(diǎn)F，作FN⊥x軸與點(diǎn)N．則AF∥PQ，

∴△CPQ∽△CFA，

∴= =2．

∵∠CAF=90°，

∴∠NAF+∠CAH=90°，∠NFA+∠NAF=90°，

∴∠BFA=∠CAH．

又∵∠FNA=∠AHC=90°，

∴△FNA∽△AHC，

∴== =，即 = =．

∴AN=2，FN=1．

∴F（﹣5，1）．

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C和點(diǎn)F的坐標(biāo)代入得： ，解得：k= ，b= ．

∴直線CF的解析式為y= x+ ．

將y= x+ 與y=﹣x2﹣2x+3聯(lián)立得： ,

解得： 或 （舍去）．

∴P（﹣， ）．

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣， ）．

點(diǎn)睛: 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)，找出四邊形BDEF周長(zhǎng)取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．