Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足為D點，AE平分∠BAC，交BD于點F交BC于點E，點G為AB的中點，連接DG，交AE于點H，下列結論錯誤的是（　　）

A.AH＝2DFB.HE＝BEC.AF＝2CED.DH＝DF

Answer 1

【答案】A

【解析】

通過證明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性質可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性質可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由線段垂直平分線的性質可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．

解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，

∴∠CAB＝∠ABD＝45°，

∴AD＝BD，

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴CE＝BE＝BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，

∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，

∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，

∴△ADF≌△BDC（AAS）

∴AF＝BC＝2CE，故選項C不符合題意，

∵點G為AB的中點，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，

∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°

∴∠AHG＝67.5°，

∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，

∴DH＝DF，故選項D不符合題意，

連接BH，

∵AG＝BG，DG⊥AB，

∴AH＝BH，

∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，

∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，

∴∠EHB＝∠EBH＝45°，

∴HE＝BE，

故選項B不符合題意，

故選：A．