Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（x，0），B（x，y），若線段AB上存在一點Q滿足，則稱點Q是線段AB的“倍分點”．

（1）若點A（1，0），AB＝3，點Q是線段AB的“倍分點”．

①求點Q的坐標；

②若點A關于直線y＝x的對稱點為A′，當點B在第一象限時，求；

（2）⊙T的圓心T（0，t），半徑為2，點Q在直線y＝ x上，⊙T上存在點B，使點Q是線段AB的“倍分點”，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①Q（1，1）或Q'（1，﹣1），②；（2）t的取值范圍為﹣4≤t≤4

【解析】

(1) ①根據 “倍分點”的定義及A（1，0），AB＝3，可得Q的坐標；②點A（1，0）關于直線y＝x的對稱點為A′（0，1），可得QA＝QA′，可得答案；

(2)分①當A，B都在⊙T1上時，可得t的值，②當⊙T2上只有一個點Q是線段AB的“倍分點”時，過點T2作T2Q⊥圖象L于點Q，交⊙T2于點N，過點Q作QD⊥x軸于點D，可得t的取值范圍.

解：（1）如圖1，

∵A（1，0），AB＝3

∴B（1，3）或B'（1，﹣3）

∵

∴Q（1，1）或Q'（1，﹣1）

（2）點A（1，0）關于直線y＝x的對稱點為A′（0，1），如圖1，

∴QA＝QA′

∴，

（3）①當A，B都在⊙T1上時，⊙T1與L沒有交點，

∵⊙T1的半徑為2，

∴此時點T1的坐標為（0，﹣4）；

②當⊙T2上只有一個點Q是線段AB的“倍分點”時，過點T2作T2Q⊥圖象L于點Q，交⊙T2于點N，過點Q作QD⊥x軸于點D，

∵圖象L的解析式為y＝x（x＞0），

∴∠QOT＝60°，∠OT2Q＝30°．

∵點T2的坐標為（0，t），

∴OQ＝t，DQ＝OQ＝t，T2O＝t．

由“倍分點”的定義可知：OB＝2DQ，即t﹣2＝t，

解得：t＝4，

綜上所述：t的取值范圍為﹣4≤t≤4．