Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BEF＝∠DBC，∠BDC＝2∠DEF，

（1）求證：BD＝BE；

（2）如圖2，在（1）的下，EF⊥BC，BE＝8，DG＝5，求CD的長；

（3）在（2）的條件下，如圖3，過點C作CM⊥CB交BD的延長線于M，過點B作∠NBC＝∠MBC，連接MN，且△BMN的面形為45，求BN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD＝3；（3）BN＝15，

【解析】

（1）證明∠BDE＝∠BED，根據等角對等邊得出結論；

（2）作兩條垂線段，證明△BEF≌△NBD和△BGF≌△DNC，進而判斷出△BFG≌△DHC即可得出CD＝3，

（3）先用射影定理求出DM＝＝，BM＝BD+DM＝，CM＝＝，進而得出BH＝BM＝，MH＝2CM＝，再用S△BMN＝S△BMH+S△MNH得出NI，進而用△BCH∽△NIH，得出，即求出NH＝，即可得出結論．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

∵∠BEF＝∠DBC，

∴∠EFB＝∠BDC，

設∠DEF＝x，∠EDB＝y，∠BEF＝z，

在△EGD和△BGF中，x+y＝z+2x，即y＝x+z，即∠BDE＝∠BED，

∴BD＝BE，

（2）如圖2，過D作DH⊥BC，

∵EF⊥BC，

∴∠BFE＝∠DHB＝90°

由（1）知：BE＝BD，

∵∠BEF＝∠DBC，∠EFB＝∠DHB＝90°，

∴△BEF≌△BDH（AAS），

∴BF＝DH，∠EBF＝∠BDH，

∵∠ABC＝∠ACB，∠BEF+∠ABC＝90°，．

∴∠BEF+∠ACB＝90°，

∵∠BEF＝∠DBC，

∴∠DBC+∠ACB＝90°

∴∠BDC＝90°，

∴∠BDH+∠CDH＝90°，

∴∠FBG＝∠HDC，

∵∠BFG＝∠DHC，BF＝DH，

∴△BFG≌△DHC(ASA)，

∴CD＝BG＝BD﹣DG＝3；

（3）如圖3，由（2）知，CD＝3，∠BDC＝90°，

∴BC＝，

在Rt△BCM中，CD⊥BM，

∴DM＝＝，

∴BM＝BD+DM＝，CM＝＝，

延長MC交BN于H，

∵∠NBC＝∠MBC，BC⊥MH，

∴BH＝BM＝，MH＝2CM＝，

過點N作NI⊥MH交MH延長線于I，

∵△BMN的面形為45

∴NI＝，

∵△BCH∽△NIH，

∴，

∴，

∴NH＝，

∴BN＝BH+NH＝＝15，