Question

【題目】材料閱讀：對于一個圓和一個正方形給出如下定義：若圓上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，則稱這個圓是該正方形的“等距圓”．

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A的坐標為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側．

（1）當r=2時，在P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是　 　；

（2）若點P坐標為（﹣2，﹣1），則當⊙P的半徑r=　 　時，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”．試判斷此時⊙P與直線BD的位置關系？并說明理由．

（3）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標系xOy中，正方形EFGH的頂點F的坐標為（8，2），頂點E、H在y軸上，且點H在點E的上方．若⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P的圓心P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) P1（2，0），P2（﹣2，4）或P4（0，2﹣2）；(2) 相交；(3) （，）或（，）．

【解析】分析：（1）根據“等距圓”的定義，可知只要圓經過正方形的中心，即是正方形的“等距圓”，也就是說圓心與正方形中心的距離等于圓的半徑即可，從而可以判斷哪個點可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心，本題得以解決；

（2）根據題意可知，只要求出點P與正方形ABCD的中心的距離即可求得半徑r的長度，連接PE，可以得到直線PE的解析式，看點B是否在此直線上，由BE與直線AC的關心可以判斷PE與直線AC的關系，本題得以解決；

（3）根據題意，可以得到點P滿足的條件，列出形應的二元一次方程組，從而可以求得點P的坐標．

詳解：（1）連接AC、BD相交于點M，如右圖1所示．

∵四邊形ABCD是正方形，∴點M是正方形ABCD的中心，到四邊的距離相等，∴⊙P一定過點M．

∵正方形ABCD的頂點A的坐標為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側，∴點M（0，2），設⊙P的圓心坐標是（x，y），∴（x﹣0）2+（y﹣2）2=（2 ）2，將P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）分別代入上面的方程，只有P1（2，0），P2（﹣2，4）和P4（0，2﹣2）成立．

故答案為：P1（2，0），P2（﹣2，4）或P4（0，2﹣2）；

（2）由題意可得： 點M的坐標為（0，2），點P（﹣2，﹣1），∴r==，即當P點坐標為（﹣2，﹣1），則當⊙P的半徑r是時，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”；

故答案為：．

此時⊙P與直線AC的位置關系是相交，理由：∵正方形ABCD的頂點A的坐標為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側，∴點B（﹣2，4），D（2，0），設過點B（﹣2，4），點D（2，0）的直線的解析式為y=kx+b，則 ，解得：，即直線AC的解析式為：y=﹣x+2①，∴過點P（﹣2，﹣1）垂直于BD的直線解析式為y=x+1②，記垂足為G，聯立①②，解得：G的坐標為（），∴PG=

∴點P（﹣2，﹣1）到直線BD的距離為：＜；

∴此時⊙P與直線AC的位置關系是相交；

（3）設點P的坐標為（x，y），連接HF、EG交于點N，則點N為正方形EFGH的中心，其坐標為（4，6）如圖2所示．

∵點E（0，2），N（4，6），點C（﹣2，0），點B（﹣2，4），⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，∴，

解得：或

即⊙P的圓心P的坐標是（，）或（，）．