Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點0是坐標原點．邊長為6的正方形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，點E是對角線AC上一點，連接OE、BE，BE的延長線交OA于點P，若△OCE的面積為12．

（1）求點E的坐標；

（2）求△OPE的周長．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標是（4，2）；

（2）△OPE的周長為.

【解析】（1）過點E作EM⊥y軸于點M，根據面積公式EM=4，根據正方形性質求出CM=ME=4，即可求出答案；

（2）根據全等求出BE=OE，求出直線BE的解析式，求出P的坐標，根據勾股定理求出BP，即可求出答案.

解：（1）過點E作EM⊥y軸于點M，

∴OCEM=12，

即×6×EM=12， ∴EM=4，

∵四邊形OABC是正方形，∴∠MCE=45°，

∴△MEC是等腰直角三角形， ∴MC=ME=4，

∴MO=6﹣4=2，

∴點E的坐標是（4，2）；

（2）設直線BE的解析式為y=kx+b，

把B（6，6）和點E（4，2）的坐標代入函數解析式得： ，

解得：k=2，b=﹣6，

∴直線BE的解析式為y=2x﹣6，

令2x﹣6=0得：x=3，

∴點P的坐標為（3，0），∴OP=3，

∵四邊形ABCO是正方形，

∴OC=CB，∠BCE=∠OCE，

在△OCE和△BCE中，

OC=BC，∠OCE=∠BCE，CE=CE，

∴△OCE≌△BCE（SAS），

∴OE=BE，

在Rt△PBA中，由勾股定理可得：PB==3，

∴C△OPE =OE+PE+OP=3+PB=3+3．

“點睛”本題考查了正方形的性質，坐標與圖形性質，用待定系數法求出一次函數的解析式，勾股定理等知識點，能綜合運用知識點進行計算是解此題的關鍵.