Question

【題目】在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線分別交BC邊于點M、N

（1）如圖①，若∠BAC＝110°，則∠MAN＝　 　°，若△AMN的周長為9，則BC＝　

（2）如圖②，若∠BAC＝135°，求證：BM2+CN2＝MN2；

（3）如圖③，∠ABC的平分線BP和AC邊的垂直平分線相交于點P，過點P作PH垂直BA的延長線于點H．若AB＝5，CB＝12，求AH的長

Answer 1

【答案】（1）40；9；（2）見詳解；（3）3.5

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質得到AM＝BM，NA＝NC，根據等腰三角形的性質得到BAM＝∠B，∠NAC＝∠C，結合圖形計算即可；

（2）連接AM、AN，仿照（1）的作法得到∠MAN＝90°，根據勾股定理證明結論；

（3）連接AP、CP，過點P作PE⊥BC于點E，根據線段垂直平分線的性質得到AP＝CP，根據角平分線的性質得到PH＝PE，證明Rt△APH≌Rt△CPE得到AH＝CE，證明△BPH≌△BPE，得到BH＝BE，結合圖形計算即可．

解：（1）∵∠BAC＝110°，

∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，

∵AB邊的垂直平分線交BC邊于點M，

∴AM＝BM，

∴∠BAM＝∠B，

同理：NA＝NC，

∴∠NAC＝∠C，

∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，

∵△AMN的周長為9，

∴MA+MN+NA＝9，

∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，

故答案為：40；9；

（2）如圖②，連接AM、AN，

∵∠BAC＝135°，

∴∠B+∠C＝45°，

∵點M在AB的垂直平分線上，

∴AM＝BM，

∴∠BAM＝∠B，

同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，

∴∠BAM+∠CAN＝45°，

∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，

∴AM2+AN2＝MN2，

∴BM2+CN2＝MN2；

（3）如圖③，連接AP、CP，過點P作PE⊥BC于點E，

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，

∴PH＝PE，

∵點P在AC的垂直平分線上，

∴AP＝CP，

在Rt△APH和Rt△CPE中，

，

∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），

∴AH＝CE，

在△BPH和△BPE中，

，

∴△BPH≌△BPE（AAS）

∴BH＝BE，

∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，

∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．