Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC⊥OA于點C，過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D．

（1）求證：DB=DE；

（2）若AB=12，BD=5，過D點作DF⊥AB于點F，

①則cos∠EDF= 　；

②求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②

【解析】分析：（1）欲證明DB=DE，只要證明∠DEB=∠DBE；

（2）①連接OE，有線段垂直平分線的性質，可得EF=BE=3，

在Rt△DEF中，由勾股定理DF=4，則cos∠EDF==；

②只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=，由此求出AE即可解決問題．

詳解：（1）∵BD為切線，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD=90°，即∠OBE+∠DBE=90°，

∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC=90°，

而OA=OB，

∴∠A=∠OBE，

∴∠AEC=∠DBE，

∵∠AEC=∠DEB，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DB=DE；

（2）①連接OE，如圖，

∵E是AB的中點，

∴AE=BE=6，

∵DE=DB=5，DF⊥BE，

∴EF=BE=3，

在Rt△DEF中，DF==4，

cos∠EDF==；

故答案為；

②連接OE，

∵E是AB的中點，

∴OE⊥AB，

∴∠OEB=90°

∴∠EOB+∠EBO=90°，

而∠OBE+∠DBE=90°，

∴∠EOB=∠DBF，

在Rt△OBE中，sin∠EOB==sin∠DBF=，

∴OB==，

即⊙O的半徑為．